INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

En está entrada se pretende ensamblar los elementos estudiados en las entradas:  “La pendiente de rectas tangente y secantes”, “Cálculo del perímetro de un círculo a través de polígonos regulares”, “Noción intuitiva de límite” y “Notación, propiedades y procedimientos de obtención de límites”

con la intención de construir el concepto de derivada y su interpretación.

Aplicación de los límites en la obtención de la pendiente de la recta tangente a una curva.

Recordemos que la expresión de la pendiente de una recta

la hemos expresado como

donde h es diferente de cero.

Gráfica 1. Pendiente

En nuestro estudio previo hemos visto que cuando desde un punto fijo de una curva trazamos rectas secantes (rectas que cortan a una curva en dos puntos) y vamos disminuyendo el valor de la diferencia de sus coordenadas en x hasta que está se aproxima a cero, la recta secante que se obtiene en ese proceso tiende a convertirse en la recta tangente a la curva en ese “punto fijo”. Esto es que el valor de h tiende a valer cero (x2-x1).

La gráfica siguiente refuerza lo que se pretende transmitir:

Gráfica 2. Secantes y tangente a una curva

Si al cociente

que determina la pendiente de una recta le aplicamos el concepto de límite que hemos venido estudiando, en este caso para cuando h tiende a cero tenemos:

 donde “m” es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado:

Concepto geométrico de la derivada

Geométricamente, a este límite lo conoceremos como la derivada de la función f(x).

Por tanto, podemos definir a la derivada, desde el punto de vista geométrico como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.

Denotaremos a la derivada de una función f(x) como:

Ejemplo:

Determinar la derivada de la función:

Solución

La derivada (y’) será,

para nuestra función tenemos:

desarrollando el binomio al cuadrado tenemos:

realizando operaciones del numerador, nos queda:

factorizamos h en el polinomio del numerador

simplificamos eliminando tanto del numerado como del denominador la h. ¿Por qué las podemos eliminar?

obtenemos el límite

quedándonos

Teniendo la derivada de la función, ya podemos determinar el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto donde la curva exista. Por ejemplo, si se desea obtener la ecuación de la recta tangente a la curva

x = - 3 tenemos:

Como la derivada es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva, en x = -3 tenemos:

Con el valor calculado de la pendiente y la ecuación punto pendiente de la recta

podemos conocer la ecuación de la recta tangente a la curva y=x² para x = -3, restándonos, únicamente, conocer el valor de y1 que se obtiene sustituyendo en la función el valor de x1. Así

Finalmente, aplicando a la expresión de la recta tangente a la curva en su forma punto pendiente tenemos:

La ecuación buscada de la recta es

A continuación, se presentan las gráficas de la curva y = x² y de recta 6x + y + 9 = 0

Videos de apoyo en la obtención de derivadas desarrollados por el profesor

Derivación por definición 01

Derivación por definición 02

Derivación por definición 03

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NOTACIÓN, PROPIEDADES Y PROCEDIMIENTOS DE OBTENCIÓN DE LÍMITES

En esta entrada nos enfocaremos, principalmente, a la obtención de límites cuando ello nos implica enfrentarnos con expresiones indeterminadas.

Para comenzar retomemos de la entrada “Noción intuitiva de límite” la definición que hemos formulado sobre este:

“El límite de una función f(x) cuando x se aproxima al valor de a tanto por la izquierda como por la derecha es el número real L si en ambos casos el valor de f(x) se aproxima a ese valor L“

NOMENCLATURA DE LÍMITE

Con base en la nomenclatura empleada en la definición anterior de límite, simbólicamente podemos expresar el límite como:

Donde:

lim = Límite

x = Variable independiente

a = Valor al que tiende la variable independiente

L = Valor al que tiende la función

La expresión anterior se lee de la siguiente forma:

“El límite de la función f(x) cuando x tienda al valor de a es L“

PROPIEDADS DE LOS LÍMITES

La siguiente tabla muestra algunas de las propiedades de los límites que resultan útiles para la obtención de ellos:

OBTENCIÓN DE LÍMITES

La forma más sencilla de obtener un límite es sustituyendo el valor al que tiende la variable independiente en la función, si ello nos conduce a la obtención de un número real, habremos encontrado el límite de manera inmediata, a estos límites los llamaremos “límites inmediatos”, pero si el resultado de este proceso nos lleva a obtener una operación indeterminada, “límites indeterminados”, se hace necesario emplear algunas transformaciones en la expresión de la cual se quiere obtener el límite para conocer su valor. Las indeterminaciones que estudiaremos aquí son de la forma

 para funciones algebraicas.

Límites inmediatos

Como ya vimos la obtención de los límites inmediatos sólo requiere sustituir en la función f(x) el valor al que tiende la variable x y mediante la realización de las operaciones que involucra la función se llega a un valor concreto, el límite de la función.

Mediante los siguientes ejemplos se pretende ilustrar la forma en que se obtienen este tipo de límites

Ejemplo 1

Límites indeterminados

Indeterminación 0 / 0

Cuando la sustitución del límite al que tiende la variable independiente en una función racional de la cual se quiere obtener el límite nos conduce a una indeterminación de la forma:

lo que hace necesario remover la indeterminación mediante factorización de polinomios:

Los siguientes ejemplos muestran como eliminar la indeterminación

El cálculo del límite nos ha llevado a una forma indeterminada (0 / 0). Para eliminar la indeterminación factorizamos los polinomios, observemos que el polinomio del denominador ya no se puede factorizar, por tanto, sólo factorizaremos el polinomio del numerador.

El polinomio que deseamos factorizar está formado por una diferencia de cuadrados. Recordemos de nuestras clases de álgebra que una diferencia de cuadrados se factoriza de la siguiente forma:

Para nuestro caso:

En el límite que queremos resolver aplicamos está factorización ante del cálculo del límite:

Observemos que antes de calcular el límite se factorizó el polinomio del numerador, como el numerador tiene un factor ( x – 3 ) igual al denominador, se eliminan esos factores, una vez realizada dicha simplificación se hace el cálculo del límite. Tener muy en cuenta que el límite se calculó cuando ya se había realizado la simplificación (eliminación de la indeterminación).

El límite cuando x tiende a 3 de la función racional dada (división de polinomios) resultó ser 6.

lo que nos lleva a eliminar dicha indeterminación antes de realizar el cálculo del límite. Para eliminar la indeterminación necesitamos factorizar tanto el numerador como el denominador.

Factoricemos el numerador:

Como el numerador es un trinomio cuadrado perfecto lo factorizaremos en un binomio al cuadrado. Es un trinomio cuadrado perfecto porque se cumple que si multiplicamos 2 veces la raíz del primero por la raíz del tercero, se obtiene el segundo término.

Ahora, factoricemos el denominador:

El denominador lo descompondremos en dos factores que se formaran iniciando con la raíz del primer término del trinomio, complementándose con dos números que sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados el tercer término. Así,

Con estas factorizaciones ya podremos eliminar la indeterminación. Procedamos

En la resolución del límite se ha realizado, en primer lugar, la factorización tanto del numerador como del denominador, enseguida se ha realizado una simplificación eliminando el factor (x + 2) tanto en el numerador, ambos lo poseen. Finalmente se ha sustituido el valor de la variable independiente y obtenido el límite.

La imagen 1 muestra gráficamente como el valor de la función tiende a 0 (valor del límite) cuando los valores de x se aproximan a -2.

Cuando se desea calcular el límite de una función racional (cociente o división de polinomios) y el valor de la variable independiente tiende a infinito, se presenta una indeterminación de la forma

se hace necesario eliminar la indeterminación dividiendo ambos polinomios entre la variable elevada a la mayor potencia que exista en ambos polinomios. Para ilustrar esto, revisemos los siguientes ejemplos:

Nota:

Aunque esta última operación también es indeterminada, si tomamos su límite cuando el denominador se aproxima a cero, resulta que el valor de la división tiende a infinito.

Gráficamente tenemos:

Gráficamente podemos ver el límite en la imagen siguiente

EJERCICIOS PROPUESTOS

Aplicando los aprendizajes y habilidades adquiridos, determinar los siguientes límites:

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