DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

Ing. Horacio Hernández Heredia

Para iniciar esta entrada presentaremos dos intentos de definir lo que es una función compuesta:

FUNCIONES COMPUESTAS

Llamaremos función compuesta a aquella función que se caracteriza por estar formada por más de una función, presentándose la situación de que una contiene a la otra o a las otras.

Coloquialmente, definiremos a una función compuesta como aquella función constituida por más de una función, con la característica de que la aplicación de una de ellas requiere que se hallan aplicado la o las otras funciones que la integran. Por ejemplo, la función

está compuesta por una función exponencial y una función polinomial. Para poder aplicar la función exponencial requerimos haber aplicado, primero, la función polinomial.

En el ejemplo llamaremos función contenida a aquella cuyos valores se pueden obtener de su aplicación directa sobre la variable independiente, en este caso, la función polinomial. A su vez, la función contenedora, para nuestro ejemplo, será la función exponencial, ya que en su estructura contiene a la función polinomial.

En términos de conjuntos tenemos,

Aquí,

Por tanto,

Las funciones compuestas pueden ser tan complejas como se requiera, por ejemplo:

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

Para obtener la derivada de una función compuesta es suficiente con multiplicar la derivada de las funciones contenidas y contenedoras que la integran. Siendo de particular importancia el hecho de identificar dichas funciones.

Como ejemplo consideremos la función:

La función “y” está compuesta por 6 funciones que se listan a continuación:

• Logaritmo natural
• Raíz cuadrada
• Seno
• Exponencial
• Coseno
• Polinomio

La relación entre ellas de da en la siguiente forma:

La función logaritmo depende de las cinco funciones restantes (las contiene en su estructura), la función raíz cuadrada depende de las cuatro funciones restantes, el seno depende de las tres restantes, la función exponencial depende del coseno y el polinomio, la función coseno depende del polinomio y el polinomio depende directamente de la variable independiente “x”.

Realicemos unos cambios de variable para obtener la regla de derivación de las funciones compuestas, es necesario prestar mucha atención a los cambios de variable en cadena que se van presentando y los cambios que sufren las funciones en su expresión.

Ahora multipliquemos, empleando la notación de Leibnitz, los símbolos de derivación de cada función:

Ahora realicemos la simplificación de los factores de la expresión eliminando aquellos que aparecen tanto en el numerador como en el denominador.

se puede observar que después de la simplificación nos queda

Por tanto, podemos concluir que, la derivada de una función compuesta es igual al producto de las derivadas de todas las funciones que la integran. A esta técnica de obtención de la derivada de una función compuesta se le conoce como regla de la cadena.

Generalizando, podemos expresar la regla de la cadena para “n” términos como:

Para la notación de Lagrange

EJEMPLO PRINCIPAL

El siguiente video muestra la aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de la función compuesta que se utilizó de ejemplo en la sección anterior.

La imagen que se muestra a continuación también contiene el proceso de obtención sin las explicaciones verbales

EJEMPLOS ADICIONALES

A continuación, se presentan varios ejemplos tanto en video como por escrito de la obtención de derivadas de funciones compuestas.

Ejemplos 1 – 4

Ejemplos 1 - 4

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

PROBLEMAS PROPUESTOS

Obtener las derivadas de las siguientes funciones compuestas:

No olvides participar en el foro con tus dudas y aportaciones, ello es fundamental para potencializar el aprendizaje.