En esta entrada nos
enfocaremos, principalmente, a la obtención de límites cuando ello nos implica
enfrentarnos con expresiones indeterminadas.
Para comenzar retomemos de la
entrada “Noción intuitiva de límite” la definición que hemos formulado sobre
este:
“El límite de una función f(x)
cuando x se aproxima al valor de a tanto por la izquierda como por la
derecha es el número real L si en ambos casos el valor de f(x) se
aproxima a ese valor L“
NOMENCLATURA DE LÍMITE
Con base en la nomenclatura
empleada en la definición anterior de límite, simbólicamente podemos expresar
el límite como:
Donde:
lim = Límite
x = Variable independiente
a = Valor al que tiende la
variable independiente
L = Valor al que tiende la
función
La expresión anterior se lee
de la siguiente forma:
“El límite de la función f(x)
cuando x tienda al valor de a es L“
PROPIEDADS DE LOS LÍMITES
La siguiente tabla muestra
algunas de las propiedades de los límites que resultan útiles para la obtención
de ellos:
OBTENCIÓN DE LÍMITES
La forma más sencilla de
obtener un límite es sustituyendo el valor al que tiende la variable
independiente en la función, si ello nos conduce a la obtención de un número
real, habremos encontrado el límite de manera inmediata, a estos límites los
llamaremos “límites inmediatos”, pero si el resultado de este proceso nos lleva
a obtener una operación indeterminada, “límites indeterminados”, se hace
necesario emplear algunas transformaciones en la expresión de la cual se quiere
obtener el límite para conocer su valor. Las indeterminaciones que estudiaremos
aquí son de la forma
para funciones algebraicas.
Límites inmediatos
Como ya vimos la obtención de
los límites inmediatos sólo requiere sustituir en la función f(x) el valor al
que tiende la variable x y mediante la realización de las operaciones que
involucra la función se llega a un valor concreto, el límite de la función.
Mediante los siguientes
ejemplos se pretende ilustrar la forma en que se obtienen este tipo de límites
Ejemplo
1
Límites indeterminados
Indeterminación 0 / 0
Cuando la sustitución del
límite al que tiende la variable independiente en una función racional de la
cual se quiere obtener el límite nos conduce a una indeterminación de la forma:
lo que hace necesario remover
la indeterminación mediante factorización de polinomios:
Los siguientes ejemplos
muestran como eliminar la indeterminación
El cálculo del límite nos ha
llevado a una forma indeterminada (0 / 0). Para eliminar la indeterminación
factorizamos los polinomios, observemos que el polinomio del denominador ya no
se puede factorizar, por tanto, sólo factorizaremos el polinomio del numerador.
El polinomio que deseamos
factorizar está formado por una diferencia de cuadrados. Recordemos de nuestras
clases de álgebra que una diferencia de cuadrados se factoriza de la siguiente
forma:
Para nuestro caso:
En el límite que queremos
resolver aplicamos está factorización ante del cálculo del límite:
Observemos que antes de
calcular el límite se factorizó el polinomio del numerador, como el numerador
tiene un factor ( x – 3 ) igual al denominador, se eliminan esos factores, una
vez realizada dicha simplificación se hace el cálculo del límite. Tener muy en
cuenta que el límite se calculó cuando ya se había realizado la simplificación
(eliminación de la indeterminación).
El límite cuando x tiende a 3
de la función racional dada (división de polinomios) resultó ser 6.
lo que nos lleva a eliminar
dicha indeterminación antes de realizar el cálculo del límite. Para eliminar la
indeterminación necesitamos factorizar tanto el numerador como el denominador.
Factoricemos el numerador:
Como el numerador es un
trinomio cuadrado perfecto lo factorizaremos en un binomio al cuadrado. Es un
trinomio cuadrado perfecto porque se cumple que si multiplicamos 2 veces la raíz
del primero por la raíz del tercero, se obtiene el segundo término.
Ahora, factoricemos el
denominador:
El denominador lo descompondremos
en dos factores que se formaran iniciando con la raíz del primer término del
trinomio, complementándose con dos números que sumados den el coeficiente del segundo
término y multiplicados el tercer término. Así,
Con estas factorizaciones ya
podremos eliminar la indeterminación. Procedamos
En la resolución del límite se
ha realizado, en primer lugar, la factorización tanto del numerador como del
denominador, enseguida se ha realizado una simplificación eliminando el factor
(x + 2) tanto en el numerador, ambos lo poseen. Finalmente se ha sustituido el
valor de la variable independiente y obtenido el límite.
La imagen 1 muestra gráficamente
como el valor de la función tiende a 0 (valor del límite) cuando los valores de
x se aproximan a -2.
Cuando se desea calcular el
límite de una función racional (cociente o división de polinomios) y el valor
de la variable independiente tiende a infinito, se presenta una indeterminación
de la forma
se hace necesario eliminar la indeterminación dividiendo ambos
polinomios entre la variable elevada a la mayor potencia que exista en ambos
polinomios. Para ilustrar esto, revisemos los siguientes ejemplos:
Nota:
Aunque esta última operación también es indeterminada, si
tomamos su límite cuando el denominador se aproxima a cero, resulta que el valor
de la división tiende a infinito.
Gráficamente tenemos:
Gráficamente podemos ver el límite en la imagen siguiente
EJERCICIOS PROPUESTOS
Aplicando los aprendizajes y habilidades adquiridos, determinar
los siguientes límites:
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participaciones deben ser respetuosas y con la intención de solicitar apoyo o
proporcionarlo a alguien que lo solicite, recuerden que este es un esfuerzo
colectivo de aprendizaje.
