En esta entrada se pretende introducir en el estudiante la
noción de límite de una forma intuitiva, ello implica que se comprenda sin
necesidad de realizar grandes razonamientos.
Para comenzar consideremos el comportamiento de una función f(x)
cuando los valores de la variable independiente x se aproximan a un
valor determinado a. Si por ejemplo el valor de a es 5, nos surgirá la
pregunta, ¿los números que se aproximan al 5 son mayores o menores que él?,
para solventar la situación consideremos ambos casos, nos aproximaremos al 5
con valores menores a él y con valores mayores. Recurriendo a la recta numérica
nos aproximaremos al 5 por ambos lados.
Así, la variable x podría tomar, entre otros, los
valores.
Como se puede observar en el lado izquierdo los valores se
acercan a 5 de izquierda a derecha y por el otro lado de derecha a izquierda.
La aproximación puede ser tan cercana como se desee y los
valores por ambos lados no necesariamente deben estar a la misma distancia.
Aclarado lo anterior, pasemos a observar el comportamiento
que tiene la función f(x) cuando la variable x se aproxima al valor de a
(a es un número real), en este caso 5. Para ejemplificar la situación
consideremos que la función es:
Reacondicionando la tabla 1 para que contenga los valores de
f(x) para cada valor de x, tenemos:
Analizando la tabla 2 podemos observar que conforme los
valores de x se acercan (aproximan) al valor de a, el número 5, tanto
por la izquierda como por la derecha, también los valores de f(x) se
aproximan a un número, ¿Cuál ese número?
Correcto, ese número es el 6.
De ahora en adelante llamaremos al valor a que se aproxima f(x)
cuando x se aproxima al valor de a como L.
Con lo anterior podemos construir un primer concepto de
límite:
“El límite de una función f(x) cuando x se
aproxima al valor de a tanto por la izquierda como por la derecha es L
si en ambos casos el valor de f(x) se aproxima a ese valor L“
Para el ejemplo desarrollado x = 5 y L = 6.
INEXISTENCIA DEL LÍMITE
Existen funciones para las que el límite existe para ciertos
valores de la variable independiente, pero para otros no. Por ejemplo, consideremos
la función:
Por ejemplo, cuando x se aproxima a 1, el límite de la función lo
obtendríamos acercándonos por ambos lados como se muestra en la tabla 3
Como podemos observar el límite cuando x tiende a 1 es 1. Esto significa
que cuando los valores de la variable independiente tienden a 1, el valor de la
función tiende a ser 1.
Por otro lado, para la misma función
Determinemos el límite cuando x se aproxima a cero (tiende a 0)
tanto por la izquierda como por la derecha de ese valor. Tenemos:
DETERMINACIÓN GRÁFICA DEL LÍMITE
Gráficamente podemos observar lo anterior a través de los
siguientes videos. Ambos videos tratan lo mismo pero el primero lo hace
mediante una animación creada en Geogebra y el segundo, también con Geogebra,
pero sin la animación. Se recomienda que se visualicen ambos videos.
Video 1
Video 2
EJERCICIOS
Determinar la existencia del límite y en caso de existir determinar
su valor cuando la variable independiente tiende al valor indicado. Realizar la
determinación aproximándose al valor que tiende la variable independiente tanto
por la izquierda como por la derecha. Emplear el esquema de tabla empleado y
construir la gráfica de la función en un intervalo cercano al valor al que
tiende la variable independiente. Mostrar además los cálculos realizados.
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