OBTENCIÓN DE LAS PENDIENTES Y ECUACIONES DE LA RECTAS TANGENTES A UNA CURVA

Ing. Horacio Hernández Heredia

En esta entrada se pretende apoyar al lector en la consecución de las competencias necesarias para determinar las pendientes y ecuaciones de las rectas tangentes a una curva. Revistiendo esta competencia una gran importancia para la aplicación del cálculo.

ELEMENTOS TEÓRICOS Y METODOLÓGICOS

Recordemos que la pendiente de una línea recta es una forma de expresar la inclinación que presenta una recta. Esta inclinación se expresa como el cociente de la variación que existe entre dos puntos de la variable dependiente “y” entre la variación que sufre la variable independiente “x”. La pendiente se denota con la letra “m”.

En el estudio de la interpretación geométrica de la derivada hemos concluido que la pendiente de cualquier recta tangente a una curva es igual a la derivada de esa curva. Así,

De esta manera, basta con obtener la derivada para poder obtener la pendiente de cualquier recta tangente a una curva. 

Para conocer la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto de esta, debemos sustituir el valor de la variable independiente en la derivada de la función de la curva y realizar las operaciones que involucra, siendo el resultado del proceso la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de interés.

Una vez que ya contamos con la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado, aplicamos el valor obtenido de la pendiente y las coordenadas del punto de tangencia a la ecuación de la recta

Obteniendo con ello, tras las simplificaciones y arreglos necesarios, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto especificado.

EJEMPLOS

Los siguientes videos e imágenes ejemplifican el procedimiento de obtención tanto de la pendiente como de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.

Ejemplo 1

Obtener la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la curva

para los puntos en que las coordenadas de la variable independiente (x) son 2 y 3.

APLICACIONES DERIVADA. Obtención de la pendiente y 

ecuación de la recta tangente. Ejemplo 1

Ejemplo 2

Obtener la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la curva

para los puntos en que las coordenadas de la variable independiente (x) son 1, 4 y 6.

APLICACIONES DERIVADA. Obtención de la pendiente y 

ecuación de la recta tangente. Ejemplo 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

Realizar los ejercicios siguientes de obtención de la pendiente y la ecuación de la recta tangente.

Es muy recomendable que participen en la sección de comentarios con sus aportes, descubrimientos o dudas sobre el tema. Esta sección permite el crecimiento de los participantes, tanto de los que aportan como de los que aprenden de ellos.

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

Ing. Horacio Hernández Heredia

Para iniciar esta entrada presentaremos dos intentos de definir lo que es una función compuesta:

FUNCIONES COMPUESTAS

Llamaremos función compuesta a aquella función que se caracteriza por estar formada por más de una función, presentándose la situación de que una contiene a la otra o a las otras.

Coloquialmente, definiremos a una función compuesta como aquella función constituida por más de una función, con la característica de que la aplicación de una de ellas requiere que se hallan aplicado la o las otras funciones que la integran. Por ejemplo, la función

está compuesta por una función exponencial y una función polinomial. Para poder aplicar la función exponencial requerimos haber aplicado, primero, la función polinomial.

En el ejemplo llamaremos función contenida a aquella cuyos valores se pueden obtener de su aplicación directa sobre la variable independiente, en este caso, la función polinomial. A su vez, la función contenedora, para nuestro ejemplo, será la función exponencial, ya que en su estructura contiene a la función polinomial.

En términos de conjuntos tenemos,

Aquí,

Por tanto,

Las funciones compuestas pueden ser tan complejas como se requiera, por ejemplo:

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

Para obtener la derivada de una función compuesta es suficiente con multiplicar la derivada de las funciones contenidas y contenedoras que la integran. Siendo de particular importancia el hecho de identificar dichas funciones.

Como ejemplo consideremos la función:

La función “y” está compuesta por 6 funciones que se listan a continuación:

• Logaritmo natural
• Raíz cuadrada
• Seno
• Exponencial
• Coseno
• Polinomio

La relación entre ellas de da en la siguiente forma:

La función logaritmo depende de las cinco funciones restantes (las contiene en su estructura), la función raíz cuadrada depende de las cuatro funciones restantes, el seno depende de las tres restantes, la función exponencial depende del coseno y el polinomio, la función coseno depende del polinomio y el polinomio depende directamente de la variable independiente “x”.

Realicemos unos cambios de variable para obtener la regla de derivación de las funciones compuestas, es necesario prestar mucha atención a los cambios de variable en cadena que se van presentando y los cambios que sufren las funciones en su expresión.

Ahora multipliquemos, empleando la notación de Leibnitz, los símbolos de derivación de cada función:

Ahora realicemos la simplificación de los factores de la expresión eliminando aquellos que aparecen tanto en el numerador como en el denominador.

se puede observar que después de la simplificación nos queda

Por tanto, podemos concluir que, la derivada de una función compuesta es igual al producto de las derivadas de todas las funciones que la integran. A esta técnica de obtención de la derivada de una función compuesta se le conoce como regla de la cadena.

Generalizando, podemos expresar la regla de la cadena para “n” términos como:

Para la notación de Lagrange

EJEMPLO PRINCIPAL

El siguiente video muestra la aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de la función compuesta que se utilizó de ejemplo en la sección anterior.

La imagen que se muestra a continuación también contiene el proceso de obtención sin las explicaciones verbales

EJEMPLOS ADICIONALES

A continuación, se presentan varios ejemplos tanto en video como por escrito de la obtención de derivadas de funciones compuestas.

Ejemplos 1 – 4

Ejemplos 1 - 4

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

PROBLEMAS PROPUESTOS

Obtener las derivadas de las siguientes funciones compuestas:

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DERIVADAS SUCESIVAS

Ing. Horacio Hernández Heredia

En esta entrada trataremos con la obtención de derivadas de orden superior o derivadas sucesivas. Este tema es de gran importancia ya que, complementando a la obtención de derivadas de primer orden, las derivadas de segundo y tercer orden tienen una gran importancia en la aplicación del cálculo diferencial.

DEFINICIÓN Y NOMENCLATURA

Se consideran como derivadas de orden superior a aquellas derivadas que resultan de derivar sucesivamente la expresión resultante de una derivada previa. Así, la derivada de segundo orden se podría simbolizar de la siguiente forma:

también expresada como

o 

La tercera derivada respondería al siguiente proceso:

también expresada como

o

Para nombrar la derivada de orden “n” podemos usar las siguientes formas:

Particularmente, las derivadas que nos interesan se denotan como:

o

Entre sus aplicaciones la segunda derivada se emplea para determinar si un punto extremo constituye un máximo o un mínimo. La tercera derivada se emplea para corroborar la existencia de puntos de inflexión.

EJEMPLOS

A continuación, se presentan tres ejemplos de obtención de derivadas de primero, segundo y tercer orden. Los videos presentan una explicación detallada del proceso de derivación, las imágenes muestran por escrito el procedimiento seguido y los resultados obtenidos.

Ejemplo 1

Obtener las derivadas de primero, segundo y tercer orden de la función

DERIVADAS. Derivadas sucesivas. Ejemplo 01

Ejemplo 2

Obtener las derivadas de primero, segundo y tercer orden de la función

DERIVADAS. Derivadas sucesivas. Ejemplo 02

Ejemplo 3

Obtener las derivadas de primero, segundo y tercer orden de la función

DERIVADAS. Derivadas sucesivas. Ejemplo 03

EJERCICIOS PROPUESTOS

Obtener las derivadas sucesivas, hasta la de tercer orden, de las funciones siguientes.

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DERIVADAS DE COCIENTES DE FUNCIONES

Ing. Horacio Hernández Heredia

Esta entrada tiene por objetivo apoyar al usuario en la aplicación de la regla que permite obtener la derivada de cocientes de funciones.

Regla para obtener la derivada de cocientes de funciones.

La regla para derivar una función que está constituida, a su vez, por un cociente de funciones es:

Donde u como v son funciones que dependen de la variable x.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran como se aplica la regla anterior con la finalidad de obtener la derivada de la función conformada por un cociente de funciones. Para que el estudiante disponga de alternativas de aprendizaje se presentan los ejemplos por escrito y en video. El video siguiente contiene los dos ejemplos.

DERIVADAS. Cocientes de funciones. Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Regla para obtener la derivada de cocientes de funciones cuando la función del numerador es una constante.

El siguiente video muestra como se obtiene la regla para derivar este tipo de funciones

La imagen, a continuación, muestra también el procedimiento de obtención de la regla

Como pudimos ver, la regla para derivar cocientes de funciones en que el numerador es una función constante y el denominador es una función que depende de x es:

Ejemplos de aplicación de la regla

El siguiente video muestra mediante dos ejemplos, como se aplica la regla que permite obtener la derivada de un cociente de funciones cuando el numerador es una función constante

Como complemento a lo anterior se muestran por escrito los ejemplos detallados en el video.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejercicios

Obtener las derivadas de cocientes de funciones que se presentan a continuación:

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