CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE UN CÍRCULO A TRAVÉS DE POLÍGONOS REGULARES

CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE UN CÍRCULO A TRAVÉS DE POLÍGONOS REGULARES

El objetivo de esta entrada es el de introducirnos en la idea de límite desde el punto de vista de las matemáticas. La actividad consiste en calcular el perímetro de una circunferencia a través del perímetro de polígonos regulares inscritos en ella.

APERTURA

Para comenzar recordemos que el perímetro de un círculo está constituido por la longitud de la circunferencia que lo rodea. 

Trata de recordar los elementos participantes en el cálculo del perímetro de un círculo:

• Pi (π), ¿Cuál es su valor?
• Radio
• Fórmula para calcular el perímetro de un círculo, ¿cuál es?

La otra parte importante en el desarrollo de esta actividad está constituida por los polígonos, figuras geométricas cerradas constituidas por un cierto número de lados. ¿Cómo se llaman esas figuras?

Escribe el nombre de las figuras en función de su número de lados.

Los polígonos se pueden clasificar en regulares e irregulares, ¿cuáles son unos y cuáles los otros? ¿En qué se diferencian?

Recuerdas ¿cuándo una figura está inscrita en otra?, realiza un dibujo ilustrativo al respecto.

En la figura siguiente, el cuadrado está inscrito en el círculo, en tanto que, el círculo está circunscrito en el cuadrado. Escribe una definición propia de ambos términos y apóyala con una imagen.

DESARROLLO

Dibuja una circunferencia de 5 cms. de radio.

Ahora inscribe en la circunferencia un triángulo equilátero (polígono regular, ¿cómo lo podrías dibujar correctamente?

¿Cuál es el perímetro del triángulo equilátero (polígono regular)? Emplea una regla de tu juego de geometría para determinarlo

Perímetro del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia ________

En círculos de 5 cms. de radio inscribe polígonos regulares de 6, 8 ,12 y 24 lados. Determina el perímetro de dichos polígonos empleando una regla, concentrando los resultados en la siguiente tabla:

Anexa una columna más a la última tabla y anota en ella la diferencia entre el perímetro del círculo y el perímetro de cada polígono. Anota la diferencia como un valor positivo.

La diferencia se puede calcular mediante cualquiera de las dos expresiones siguientes:

CIERRE

Preguntas finales:

1. ¿Cuántos polígonos se requerirían para que ambos perímetros fuesen iguales? ¿Sería práctico aplicar este procedimiento para esa cantidad de polígonos?
2. En caso de que no conociéramos la fórmula para calcular el perímetro de un círculo, ¿este procedimiento sería de utilidad?
3. ¿Cómo se conoce al valor numérico que no considera el signo de un número real?
4. Si en lugar de inscribir los polígonos en el círculo, se inscribiera el círculo en los polígonos, ¿cuáles serían los resultados y conclusiones que se tendrían? Si te es posible realiza la actividad bajo este nuevo esquema.
5. ¿Cómo calificas la actividad desarrollada?
6. ¿Tenías idea de que podías aproximar el cálculo del perímetro de una circunferencia de esta forma?

Participa en la sección de comentarios con tus aportaciones.

LA PENDIENTE DE RECTAS SECANTES Y TANGENTES

Base fundamental para el estudio del cálculo diferencial

En esta entrada se presenta el estudio de los elementos mencionados en el título y su importancia en la comprensión y estudio del cálculo diferencial. Analizamos sus relaciones y propiedades para establecer una expresión de la pendiente que servirá de base para la construcción del concepto de derivada.

Recta secante a una curva

Recordemos de Geometría Analítica que una recta secante a una curva es aquella recta que corta a dicha curva en dos puntos. Las siguientes imágenes muestran ejemplos de rectas secantes a una curva.

La recta secante “g” corta a la curva “f” en los puntos A(-2, 6) y B(1, 3).

La recta secante “g” corta a la curva “f” en los puntos A(-1, -1) y B(0,0)

Preguntas de reforzamiento:

1. Cuál es el signo de la pendiente de la recta secante a la curva mostrada en la imagen del lado izquierdo?

2. ¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta secante a la curva mostrada en la imagen del lado derecho?

3 ¿Cuál es la expresión que se utiliza para calcular la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos de ella?

4. Calcula la pendiente de ambas rectas y verifica si el signo corresponde a las respuestas que diste en los dos primeros incisos.

Recta tangente a una curva

A diferencia de la recta secante, una recta tangente a una curva es aquella que la toca en un solo punto. En las siguientes imágenes se muestran ejemplos de rectas tangentes a una curva.

La recta tangente “g” toca únicamente a la recta “f” en el punto (1, -2)

La recta tangente “g” toca a la curva “f” en el punto A(1, 3)

Preguntas de reforzamiento:

1. ¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta secante a la curva mostrada en la imagen del lado izquierdo?

2. ¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta secante a la curva mostrada en la imagen del lado derecho?

3. ¿Cuál es la expresión que se utiliza para calcular la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos de ella?

4. Calcula la pendiente de ambas rectas y verifica si el signo corresponde a las respuestas que diste en los dos primeros incisos.

Pendiente de una recta

En geometría analítica, la pendiente de una recta se define como la inclinación que esta presenta con respecto de la horizontal. La pendiente se simboliza con la letra “m” y se expresa, tomados dos puntos de la recta, como el cociente de la diferencia en los valores de la variable independiente “y” entre la diferencia de los valores de la variable dependiente “x”, considerando los signos de dichas diferencias. Así, considerando los puntos P1(x₁, y₁) y P2(x₂, y₂):

Para los fines del cálculo diferencial, introduciremos una notación diferente, ella nos permitirá avanzar en el estudio de este campo de las matemáticas. Consideremos la gráfica siguiente:

En esta última gráfica hemos cambiado, únicamente, los nombres generalizados de las coordenadas. Las coordenadas del punto 1 las denominamos x y f(x), en tanto que, las coordenadas del punto 2 serán (x+h, f(x+h)). Donde h, es la diferencia en los valores de la variable independiente (x) de los dos puntos analizados. No olvidemos que el valor de la pendiente de una recta dada no depende de los puntos que tomemos para su cálculo, este siempre es el mismo para cualquier par de puntos (la inclinación de una recta particular es la misma siempre).

Ahora pasemos de la expresión de la pendiente utilizada en Geometría Analítica 

a la que emplearemos en cálculo diferencial

Donde h debe ser diferente de 0. ¿Por qué?

Nota 1:

Para mayor comprensión revisa las dos últimas gráficas hasta que la equivalencia en expresiones te quede clara.

Nota 2:

En gran cantidad de libros, revistas o medios donde se estudia el cálculo diferencial, se emplea Δx en lugar de h. Δx se lee, “delta x”. Δ es un símbolo que en matemáticas se utiliza para representar cambios en los valores de una variable. La expresión nos quedaría:

Relación basada en la pendiente de las rectas tangentes y secantes a una curva.

Observemos la siguiente secuencia de imágenes en que, el valor de h ( de la recta secante disminuye de tal forma que está tiende a convertirse en la recta tangente a la curva en el punto (x, fx(x))

El punto inferior ha permanecido fijo y el superior se ha venido recorriendo en la curva hasta que ambos coinciden (revisar las imágenes en la secuencia indicada). Cuando ambos puntos coinciden, la recta secante a la curva que pasa por el punto fijo “A”, se convierte en la recta tangente a la curva en ese punto. Este hallazgo es de suma importancia en la comprensión y aplicación del cálculo diferencial.

Ejemplos de cálculo del cociente 

Para h diferente de cero de las siguientes funciones:

Para favorecer el aprendizaje del tema, en la parte de los comentarios pueden compartir dudas, descubrimientos, materiales y cualquier otro tipo de información que resulte útil para este esfuerzo académico.